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平板コンデンサーのつくる静電場

平板コンデンサーがつくる電場の一様性を確かめ,誘電体の比誘電率を求める


平板コンデンサーのつくる静電場:画像

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公費でのご注文について

セット番号
UE3010800

帯電した平板コンデンサの電極間距離が短い場合は一様な静電場が発生します。これを電荷が逃げないようにして電極間距離と電圧を測定することで確認します。

また,誘電体を間に挟んだときの電圧変化から比誘電率を求め,誘電体の働きを考えます。

実験に必要な機器
品番 品名 価格(税込) 数量
U8533015-115 電場計 294,840円 1
U8492355 可変平板コンデンサー・D型 214,920円 1
U8492341 フェノール樹脂積層板 3,672円 1
U8476371 アクリル製誘電板 3,996円 1
U17451 アナログマルチメーター,電流・電圧・抵抗 40,392円 1
U13801 低電圧用リード線・75cm・15本セット 17,064円 1

上記一式を買物かごに入れる

※別途ご用意ください 直流電源(20V/5A) 1

※各製品ページから,それぞれ単品でもご購入いただけます。

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基本原理

帯電した平板コンデンサの電極間には引力が働いています。その為,電極間距離を広げるには,力学的な仕事が必要となります。この仕事によるエネルギーの増加は電極間の電圧が増加することで確かめられます。電極の移動距離と電圧が比例関係にあれば,その時の電場は一様であると言えます。

また電極間距離を保ったまま誘電体を間に入れると,電圧変化が生じます。この時の電圧変化から誘電体の比誘電率を計算することができます。

本実験では電圧測定時に平板コンデンサーに蓄えられた電荷が逃げないようにすることが重要です。その為,電圧は電場計を用いて静電圧を測定します。

i),電極間静電場の一様性

平板コンデンサーの電場をガウスの法則を使って計算することで,平板電極間の静電場が一様である事が示されます。それは電極間面積が十分大きい(電極端部を考えない)という条件での結果です。

式で表わせば

(1) \( E = \frac { 1 } { \varepsilon_0 } \cdot \frac { Q } { A } \)

ε0は真空の誘電率:\( \varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \left[ \frac { F } { m } \right] \) A:平板コンデンサー電極面積

電位の定義から,電場を積分したものが電位なので電場が一様であれば電極間距離dと電位差(=電圧)Uは比例し,次の関係になります。

(2) \( U = E \cdot d \)

この関係を実験で検証します。

ii),誘電体の比誘電率

誘電体(絶縁体)は電流を流しませんが,これを平板コンデンサー電極間に挿入すると電圧変化が起こります。この時の電圧を間に何も挟まない時の式(1)と(2)と同様の関係式で書けるとし,次のようにします。

(3) \( U’ = E’ \cdot d \\ E’ = \frac { 1 } { \varepsilon_r \cdot \varepsilon_0 } \cdot \frac { Q } { A } \\ \therefore \,\, U’ = \frac { 1 } { \varepsilon_r \cdot \varepsilon_0 } \cdot \frac { Q } { A } \cdot d = \frac { 1 } { \varepsilon_r } \cdot U \\ \frac { U } { U’ } = \varepsilon_r \)

この時のεrを比誘電率といいます。式(3)から分かるように,サンプルの誘電率と真空の誘電率の比に当たります。

(4) \( \therefore \, \, U' = \frac { 1 } { \varepsilon_r \cdot \varepsilon_0 } \cdot \frac { Q } { A } \cdot d =\frac { 1 } { \varepsilon_r } \cdot U \\ \frac { U } { U' } = \varepsilon_r \)

評価

i),電極間静電場の一様性

実験で測定された電極間距離と電圧をグラフにすると,電極間距離dが大きくなると比例関係を表す直線上から外れてきます。(図1) これは,その電極間隔では電場Eが一様という仮定が成り立たなくなるためです。

ii),誘電体の比誘電率

これらのデータより比誘電率εrはそれぞれ

\( \varepsilon_{ r1 } = \frac { 10\,\,V } { 2.2\,\,V } = 4.5 \\ \varepsilon_{ r2 } = \frac {10\,\,V } { 2.9\,\,V } =3.4 \)

となります。実験から得られた比誘電率は文献値と良い一致を示しています。

この誘電体の働きは誘電分極によるものです。また,この性質により誘電体をコンデンサー間に挟むことにより同じ電圧を印加した場合,より大きな電荷を蓄えることができます。(比誘電率がεr>1のため。)

\( U = \frac { d } { \varepsilon_{ r } \cdot \varepsilon_{ 0 } \cdot A } \cdot Q \\ \therefore \,\, Q = \frac { \varepsilon_{ r } \cdot \varepsilon_{ 0 } \cdot A } { d } \cdot U \equiv C \cdot U \)

このCを静電容量と言います。これより,電極間距離dと電極面積Aが等しい平行板コンデンサーに同じ電圧Uを印加した場合でも,コンデンサーが蓄える電荷量の比は比誘電率の比となります。

\( U = \frac { Q_1 } { C_1 } = \frac { Q_2 } { C_2 } \\ \frac { Q_1 } { Q_2 } = \frac { C_1 } { C_2 } = \frac { \frac { \varepsilon_{ r1 } \cdot \varepsilon_{ 0 } \cdot A } { d } } { \frac { \varepsilon_{ r2 } \cdot \varepsilon_{ 0 } \cdot A } { d } } = \frac { \varepsilon_{ r1 } } { \varepsilon_{ r2 } } \)

実際に使用されるコンデンサーは誘電体を使って,静電容量を大きくしています。

参考資料

図1:電極間隔dに対する平板コンデンサ電圧Uのグラフ

図1:電極間隔dに対する平板コンデンサ電圧Uのグラフ

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